Как абстрактная математика помогает конкретной физике

современность и История. «Классическая физика большей частью шла так, что установление связи математических размеров с настоящими вещами предшествовало уравнениям, другими словами установлению законов, причем нахождение уравнений составляло основную задачу, потому что содержание размеров заблаговременно представлялось ясным независимо от законов Современная теоретическая физика, не сообщу — сознательно, но исторически так оно и было, отправилась по иному пути, чем классика. Это оказалось само собой.

Сейчас в первую очередь стараются предугадать математический аппарат, оперирующий размерами, о которых либо о части которых заблаговременно по большому счету не ясно, что они означают». Л. И. Мандельштам, лекция по квантовой механике, 1939 год.

В год окончания Первой Мировой двое германских математиков геттингенской выучки напечатали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух известных сейчас теорем, связывающих законы сохранения разных размеров (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, обрисовывающих физическую совокупность.

Эти теоремы стали замечательным и универсальным средством обнаружения аналогичных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «электричество и Гравитация», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна значительно меньше. В это же время она и ее продолжение, вышедшее годом позднее, положили начало очень действенному подходу к конструированию теорий микромира, что сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных сотрудничеств, сильного, не сильный и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

От сил к потенциалам

Как в большинстве случаев и не редкость, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, в первую очередь Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения.

В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. Наряду с этим сила тяготения в любой точке всецело определяется тем, как быстро изменяется вблизи нее данный потенциал (другими словами его градиентом).

Это новшество обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, каковые возможно измерять конкретно, и определяются они конкретно (в выбранной совокупности единиц).

А вот значения гравитационного потенциала возможно поменять на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это смотрелось тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к настоящей физике.

Столетием позднее таким же образом переписали хорошую электродинамику. В начальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения также комфортно выразить через потенциал, лишь более сложный, чем у ньютоновской гравитации (кроме скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в таковой записи выглядят весьма элегантно и конечно встраиваются в пространство-время особой теории относительности. Но они становятся неоднозначными, потому, что одному и тому же полю смогут соответствовать различные потенциалы. К примеру, к векторному потенциалу возможно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки смогут изменяться и в пространстве, и во времени, только бы они были верно связаны между собой, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов намного больше, чем при ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века замечательно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особенного значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубочайший физический суть. Их обоюдные трансформации компенсируют друг друга совершенно верно так, дабы сохранить в прошлом виде уравнения Максвелла.

Неоднозначность выбора практически отражает неразрывную связь между магнетизмом и электричеством.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, именуют калибровочными (данный термин также восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны довольно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения заряда.

Так, калибровочная инвариантность, не обращая внимания на собственный помой-му формальный темперамент, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический суть!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется неспециализированная теория относительности (ОТО), говорит, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. В случае если неподалеку от звездолета с трудящимся двигателем поместить тяготеющие веса, то в принципе возможно всецело скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине территорию невесомости.

Такая компенсация ускорений при помощи переменного гравитационного потенциала подобна обоюдной компенсации трансформаций потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на идея, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Такие рассуждения на данный момент кажутся в полной мере естественными, но сто лет назад до них никто не додумался. Калибровочная инвариантность — и как мысль, и как термин — пришла в теоретическую физику иным методом. Чтобы выяснить, как это случилось, обратимся к работам Вейля.

Мир переменных масштабов

Вейль записал уравнения гравитационного поля в пространстве с другой геометрией, чем та, которой воспользовался Эйнштейн. В итоге к ним добавились формулы, в которых Вейль заметил главные черты уравнений Максвелла. Этим методом он взял математическую конструкцию, которую счел единой теорией тяготения и электричества.

Уравнения ОТО записываются в римановом пространстве, искривленном четырехмерном пространстве-времени с однозначной метрикой. В отличие от «плоского» евклидового пространства, где при перенесении произвольного вектора на протяжении замкнутой кривой по возвращении в исходную точку он окажется в прошлой позиции, в римановом пространстве таковой перенос закончится поворотом вектора на ненулевой угол, что будет мерой кривизны пространства в данной точке. Иначе, протяженность вектора по окончании переноса остается той же самой — в этом и состоит однозначность метрики.

От этого ограничения и отказался Вейль. Он высказал предположение, что уравнения тяготения не должны зависеть от масштабов, используемых для измерения длины. В обыденной жизни возможно с равным успехом пользоваться метрами, футами, вершками и аршинами.

Численные значения длины любого отрезка зависят от единицы измерения, но отношения между ними строго сохраняются.

Что-то подобное происходит и в геометрии Вейля, лишь масштабная единица непрерывно изменяется от точки к точке. За ней изменяются и длины, но отношения этих длин для любой пары векторов с неспециализированным началом остаются неизменными. Операцию смены масштабов Вейль назвал перекалибровкой.

Она сохраняет уравнения гравитационного поля — это и имеется калибровочная инвариантность в собственной ранней исторической ипостаси.

Но причем тут электричество? В ОТО длины векторов сохраняются, исходя из этого сравнить их не воображает неприятности. А вот Вейлю было нужно ввести математические правила, разрешающие узнать, имеют ли два вектора в соседних точках однообразную длину (не смотря на то, что сама протяженность наряду с этим не выяснена!).

Эти правила он трактовал как уравнения Максвелла для электромагнитных потенциалов. Изменение длины вектора определяется как раз этими потенциалами (подобно тому, как изменение его ориентации задается кривизной пространства, которая проявляется через гравитацию).

Вейль послал рукопись собственной статьи Эйнштейну и попросил советовать ее к публикации. Эйнштейн так и сделал, но подчернул, что в случае если теория Вейля верна, то частоты оптических спектров должны зависеть от истории излучающих атомов, а это очевидно противоречит опыту. Были выдвинуты и другие возражения, поставившие крест на вейлевском гравитации и объединении электричества.

Изумительная по красоте модель была физически несостоятельной.

Но позднее стало ясно, что мысль калибровочной инвариантности глубока и конструктивна, а Вейль совершил ошибку только в ее конкретном приложении. В 1920-е годы это осознали пара физиков, а также Фриц Лондон — потом один из авторов первой квантовой теории сверхпроводимости (см. «ПМ» № 8’2011). Во второй половине 20-ых годов XX века он предложил новую интерпретацию теории Вейля, сделавшую ее частью квантовой физики.

Неприятность с гравитацией

Но гравитация, с которой все начиналось, в стандартную модель не входит.

По словам академика Рубакова, гравитация имеет собственную специфику: «При квантовании поля тяготения появляются гравитоны. Это также бозоны, но уже не векторные — их спин равен не единице, а двойке. Но теория гравитации опять-таки подчиняется калибровочной симметрии.

Гравитон, подобно фотону, имеет только две поляризации, тогда как число математически вероятных поляризаций у частицы со поясницей 2 равняется пяти. Калибровочная симметрия гравитационного поля разрешает убрать лишние поляризации и тем самым сделать теорию непротиворечивой.

Эту симметрию практически отыскал еще Эйнштейн, не смотря на то, что в ОТО нет никаких гравитонов. Но в том месте имеется симметрия пространства-времени довольно всех ровных преобразований координат, а это и имеется калибровочная симметрия. Но, калибровочные теории весьма сильны, но все же не всемогущи. Сегодняшние теории элементарных частиц весьма сложно объединить с гравитацией, и в этом их очевидная слабость. Все попытки создать квантовую теорию тяготения пока не увенчались успехом.

Так что отечественные нынешние калибровочные модели — это, само собой разумеется, еще не вся правда.

Я пологаю, что для объединенного описания всех четырех фундаментальных сотрудничеств нужно будет изобрести новую теорию с еще более широкой калибровочной симметрией. Многие возлагают надежду на теории суперструн, но, вероятнее, пригодится что-то еще шире. Но я не сомневаюсь, что в базе данной будущей теории окажутся какие-то калибровочные симметрии.

Кое-какие ее черты просматриваются уже на данный момент, но в то время, когда она покажется и какую примет форму, я предвещать не берусь».

Вся сила в фазе

Вот как выглядит мысль Лондона в современном выражении. Квантовые объекты описываются комплексной (в математическом смысле) волновой функцией. Измерить ее экспериментально (как и электромагнитные потенциалы!) нереально.

Умелым методом возможно распознать только возможности значений физических размеров, каковые определяются квадратом модуля данной волновой функции. Исходя из этого ее возможно умножить на любое комплексное число с единичным модулем — возможность от этого не изменится. В случае если записать такое число в виде экспоненты с чисто мнимым показателем, то операция его умножения на волновую функцию приведет к трансформации ее фазы.

В случае если на квантовую частицу не действуют никакие силы, изменение фазы не повлечет за собой значимых последствий. Перемещение заряженной частицы в электромагнитном поле в нерелятивистском случае описывается уравнением Шредингера, которое при умножении на фазовый множитель изменяет собственный вид и делается неинвариантным.

Это препятствие возможно обойти, в случае если в один момент поменять электромагнитные потенциалы посредством того самого хорошего преобразования, которое по окончании работ Вейля именуется калибровочным. В случае если записать показатель экспоненты в виде произведения мнимой единицы на скалярную функцию и заряд частицы времени и координат, то эта функция именно и будет задавать требуемое калибровочное преобразование потенциалов.

Оно совершенно верно компенсирует те дополнительные члены в уравнении Шредингера, каковые появляются по окончании трансформации фазы волновой функции.

В чем физический суть данной помой-му чисто абстрактной математики? Состояния частицы, чьи волновые функции различаются только фазовыми множителями, с позиций опыта эквивалентны.

В случае если частица заряжена и, следовательно, подчиняется действию электромагнитного поля, возможность произвольной смены фазового множителя обеспечивается соответствующим трансформацией электромагнитных потенциалов. Инвариантность уравнения перемещения частицы относительно выбора фазы волновой функции машинально ведет к калибровочной инвариантности полевых уравнений.

В случае если записать уравнение Шредингера для заряженной частицы без каких-либо электромагнитных потенциалов, отыскать его ответ в виде волновой функции и умножить ее на фазовый множитель, в уравнении покажутся добавочные члены. Следовательно, оно должно содержать какие-то компоненты, каковые собственными трансформациями скомпенсируют эти добавки. В качестве таких компонент именно и выступают электромагнитные потенциалы.

Получается, что в случае если волновые функции, различающиеся на произвольный фазовый множитель, обрисовывают одно да и то же состояние заряженной квантовой частицы, то должны существовать и электромагнитные поля, каковые подчиняются уравнениям Максвелла.

Так, мы пришли к необычному результату — фазовая инвариантность порождает электромагнетизм! Этого еще нет у Лондона, не смотря на то, что логика его рассуждений подводит к такому выводу. В первый раз его четко сформулировал Вейль в статье «гравитация и Электрон», размещённой в 1929 году (не смотря на то, что он применял не уравнение Шредингера, а дираковское уравнение для релятивистского электрона).

Умножение волновой функции на фазовый множитель у Вейля предстает как новое калибровочное преобразование, тесно связанное с преобразованием электромагнитных потенциалов.

Инструмент предсказаний

Идеи Вейля так привлекли Вольфганга Паули, что в первой половине 30-ых годов XX века он пересказал их в статье «Волновая механика». В середине 1940-х годов ее прочел юный китайский физик Янг Чжэньнин, которого весьма заинтересовало подтверждение связи между сохранением и фазовой инвариантностью заряда.

В 1953—1954 годах в Брукхейвенской национальной лаборатории Чжэньнин и аспирант Роберт Миллс применили эти идеи для анализа ядерных сил. Их совместная статья «Сохранение изотопического поясницы и обобщенная калибровочная инвариантность» сыграла огромную роль в развитии теоретической физики.

Янг и Миллс первыми продемонстрировали, что на базе калибровочной симметрии возможно предвещать существование ранее малоизвестных физических полей и, как следствие, еще не открытых частиц (Паули пришел к сходным выводам за год до Янга и Миллса, но воздержался от их публикации). В 1960—1970-е годы данный росток дал обильный урожай в виде Стандартной модели элементарных частиц.

«Все фундаментальные сотрудничества, за исключением гравитации, переносятся векторными частицами, — говорит доктор наук МГУ и основной научный сотрудник Университета ядерных изучений РАН, создатель монографии о калибровочных полях академик Валерий Рубаков, — так уж устроен мир. А при таком раскладе легко нужно пользоваться калибровочными симметриями, в противном случае получаются целые патологии.

Физики шли к пониманию этих вещей весьма различными дорогами. Калибровочная природа электромагнетизма известна еще со времен Вейля, больше 80 лет. Объединенная калибровочная теория не сильный и электромагнитных сотрудничеств была развита Стивеном Вайнбергом и Абдусом Саламом в конце 60-х годов и совсем доработана только в начале 1970-х. А позже настала очередь и внутриядерных сил.

Именно тогда экспериментаторы продемонстрировали, что на малых расстояниях сотрудничество между кварками не растет, а слабеет.

Это явление назвали асимптотической свободой, и сначала оно не обнаружило разумного объяснения. Но трое физиков-теоретиков — Дэвид Гросс, Фрэнк Вильчек и Дэвид Политцер — скоро продемонстрировали, что в калибровочных моделях глюонных полей асимптотическая свобода появляется естественным образом. Из этого было неподалеку до объединения теорий электрослабых и сильных сотрудничеств в единую теоретическую конструкцию, которую назвали Стандартной моделью».

Симметрия: глобальная и локальная

Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы возможно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия свидетельствует, что, в случае если развернуть векторы всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на однообразную величину, законы физики не изменятся. Калибровочная симметрия — локальное преобразование, личный поворот фазы каждой частицы.

Отсечь все лишнее: В калибровочных теориях существует весьма широкая симметрия, которая неодинаково проявляет себя в различных точках пространства и времени.

В отыскивании великого объединения История физики связана с объединением и постоянным обобщением, казалось бы, очень далеких друг от друга и никаких не связанных между собой явлений. Любая стадия таковой унификации представляла собой большое достижение теоретической физики, которое значительно облегчало отечественное познание того, как устроена природа.

Исходя из этого при математическом описании симметрий для того чтобы типа появляются параметры, каковые зависят от пространственно-временных координат. И вот оказывается, что существование калибровочных симметрий накладывает очень сильные ограничения на особенности объектов, каковые эти теории обрисовывают.

«Для примера заберём квантовую электродинамику, — растолковывает академик Валерий Рубаков. — Электромагнитные сотрудничества переносят частицы с единичным поясницей — фотоны. Спин фотона возможно ориентирован лишь в двух направлениях, на протяжении либо против его перемещения. В первом случае мы говорим о правой поляризации, во втором — о левой.

Но в случае если строить теорию фотонов чисто формально, ни о чем не вспоминая, покажутся еще две поляризации с нулевыми проекциями поясницы на направление перемещения. В случае если такое допустить, теория рассыплется, утратит самосогласованность.

А в теории с верно подобранной калибровочной симметрией эта неприятность не появляется, лишние поляризации оттуда уходят. Подобная обстановка имеет место и в теории глюонного поля, переносящего сильные сотрудничества, и в теории не сильный сотрудничества, пер

Случайные записи:

• Предложен метод телепортации макроскопических объектов
• 10 Птиц ссамыми необычными защитными механизмами

🔴ОГЭ математика#1

Похожие статьи, которые вам понравятся:

Именная частица: физика конца света

Изучение частиц началось недавно. Во второй половине 90-ых годов XIX века Джозеф Джон Томсон открыл электрон, а через 2 десятилетия Эрнест Резерфорд…