Интересные темы:

Гаджеты

Немного интересного:

Красота повтора: фракталы

08.12.2010 Наука и жизнь

Что неспециализированного у дерева, берега моря, облака либо кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты нет ничего, что объединяет. Но в действительности существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки мельче, от них — еще меньшие, и т. д., другими словами ветка подобна всему дереву.

Подобным же образом устроена и кровеносная совокупность: от артерий отходят артериолы, а от них — небольшие капилляры, по которым кислород поступает в ткани и органы. взглянуть на космические снимки морского побережья: мы заметим полуострова и заливы; посмотрим на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; сейчас представим себе, что мы стоим на пляже и наблюдаем себе под ноги: постоянно найдутся камешки, каковые дальше выдаются в воду, чем остальные.

Другими словами береговая линия при повышении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (действительно, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).Красота повтора: фракталы

алгебра и Геометрия

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX столетий носило скорее эпизодический, нежели систематический темперамент, по причине того, что раньше математики по большей части изучали «хорошие» объекты, каковые поддавались изучению при помощи неспециализированных теорий и методов. В первой половине 70-ых годов XIX века германский математик Карл Вейерштрасс сооружает пример постоянной функции, которая нигде не дифференцируема. Но его построение было полностью абстрактно и тяжело для восприятия.

Исходя из этого в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал постоянную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее достаточно. Оказалось, что она владеет особенностями фрактала. Один из вариантов данной кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. Во второй половине 30-ых годов XX века вышла его статья «Плоские и поверхности и пространственные кривые, складывающиеся из частей, аналогичных целому», в которой обрисован еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти перечисленные выше фракталы возможно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Второй класс — динамические (алгебраические) фракталы, к каким относится и множество Мандельброта. Первые изучения в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел практически двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором обрисованы множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта.

Данный труд был удостоен приза Французской академии, но в нем не находилось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было нереально. Не обращая внимания на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней достаточно скоро забыли. Снова внимание к ней обратилось только полвека спустя с возникновением компьютеров: как раз они сделали видимыми достаток и красоту мира фракталов.

искусство и Наука

В первой половине 80-ых годов XX века вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой создатель собрал и систематизировал фактически всю имевшуюся в то время данные о фракталах и в легкой и дешёвой манере изложил ее. Главный акцент в собственном изложении Мандельброт сделал не на математические конструкции и тяжеловесные формулы, а на геометрическую интуицию читателей.

Благодаря иллюстрациям, взятым при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми создатель умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что посредством очень формул и простых конструкций, каковые способен осознать и старшеклассник, получаются необычные по красоте и сложности изображения.

В то время, когда персональные компьютеры стали достаточно замечательными, показалось кроме того целое направление в мастерстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею имел возможность фактически любой обладатель компьютера. на данный момент в сети возможно легко отыскать множество сайтов, посвященных данной теме.

Война и мир

Как уже отмечалось выше, один из природных объектов, имеющих фрактальные свойства, — это береговая линия. С ним, а правильнее, с попыткой измерить его длину, связана одна увлекательная история, которая легла в базу научной статьи Мандельброта, и обрисована в его книге «Фрактальная геометрия природы». Речь заходит об опыте, что поставил Льюис Ричардсон — очень гениальный и эксцентричный математик, метеоролог и физик.

Одним из направлений его изучений была попытка отыскать вероятности возникновения и математическое описание причин конфликта между двумя государствами. В числе параметров, каковые он учитывал, была протяженность неспециализированной границы двух враждующих государств. В то время, когда он собирал эти для численных опытов, то понял, что в различных источниках информацию об Португалии и общей границе Испании резко отличаются.

Это натолкнуло его на следующее открытие: протяженность границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем дольше получается граница. Это происходит по причине того, что при большем повышении делается вероятным учитывать все новые и новые изгибы берега, каковые раньше игнорировались из-за грубости измерений.

И в случае если при каждом повышении масштаба будут раскрываться ранее не учтенные изгибы линий, то окажется, что протяженность границ нескончаема! Действительно, в действительности этого не происходит — у точности отечественных измерений имеется конечный предел. Данный парадокс именуется эффектом Ричардсона.

Конструктивные (геометрические) фракталы

Метод построения конструктивного фрактала в общем случае таков. В первую очередь нам необходимы две подходящие фигуры , назовем их фрагментом и основой. На начальной стадии изображается база будущего фрактала.

После этого кое-какие ее части заменяются фрагментом, забранным в подходящем масштабе, — это первая итерация построения. После этого у взятой фигуры опять кое-какие части изменяются на фигуры, подобные фрагменту, и т. д. В случае если продолжить данный процесс до бесконечности, то в пределе окажется фрактал.

Разглядим данный процесс на примере кривой Коха (см. врезку на прошлой странице). За базу кривой Коха возможно забрать любую кривую (для «снежинки Коха» это треугольник). Но мы ограничимся несложным случаем — отрезком.

Фрагмент — ломаная, изображенная сверху на рисунке. По окончании первой итерации метода в этом случае исходный отрезок совпадет с фрагментом, после этого любой из составляющих его отрезков сам заменится на ломаную, подобную фрагменту, и т. д. На рисунке продемонстрированы первые четыре шага этого процесса.

Языком математики: Динамические (алгебраические) фракталы

Фракталы этого типа появляются при изучении нелинейных динамических совокупностей (из этого и наименование). Поведение таковой совокупности возможно обрисовать комплексной нелинейной функцией (многочленом) f (z). Заберём какую-нибудь начальную точку z0 на комплексной плоскости (см. врезку).

Сейчас разглядим такую нескончаемую последовательность чисел на комплексной плоскости, каждое следующее из которых получается из прошлого: z0, z1=f (z0), z2=f (z1),zn+1=f (zn). В зависимости от начальной точки z0 такая последовательность может вести себя по-различному: стремиться к бесконечности при n — ?; сходиться к какой-то конечной точке; циклически принимать последовательность фиксированных значений; вероятны и более сложные варианты.

Так, каждая точка z комплексной плоскости имеет собственный темперамент поведения при итерациях функции f (z), а вся плоскость делится на части. Наряду с этим точки, лежащие на границах этих частей, владеют таким свойством: при сколь угодно малом смещении темперамент их поведения быстро изменяется (такие точки именуют точками бифуркации). Так вот, выясняется, что множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, и множества бифуркационных точек довольно часто имеют фрактальные свойства.

Это и имеется множества Жулиа для функции f (z).

Множество Мандельброта строится пара в противном случае. Разглядим функцию fc (z) = z2+с, где c — комплексное число. Выстроим последовательность данной функции с z0=0, в зависимости от параметра с она может расходиться к бесконечности либо оставаться ограниченной.

Наряду с этим все значения с, при которых эта последовательность ограничена, именно и образуют множество Мандельброта. Оно было подробно изучено самим Мандельбротом и другими математиками, каковые открыли много увлекательных особенностей этого множества.

Видно, что определения множеств Жулиа и Мандельброта похожи. В действительности эти два множества тесно связаны. В частности, множество Мандельброта — это все значения комплексного параметра c, при которых множество Жулиа fc (z) связно (множество именуется связным, в случае если его нельзя разбить на две непересекающиеся части, с некоторыми дополнительными условиями).

Фракталы и жизнь

Сейчас теория фракталов находит широкое использование в разных областях людской деятельности. Кроме чисто научного объекта для изучений и уже упоминавшейся фрактальной живописи, фракталы употребляются в теории информации для сжатия графических данных (тут по большей части используется свойство самоподобия фракталов — так как дабы запомнить преобразования и небольшой фрагмент рисунка, благодаря которым возможно взять остальные части, требуется значительно меньше памяти, чем для хранения всего файла).

Додавая в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, возможно взять стохастические фракталы, каковые очень правдоподобно передают кое-какие настоящие объекты — элементы рельефа, поверхность водоемов, кое-какие растения, что с успехом используется в физике, географии и компьютерной графике с целью достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали производить антенны, имеющие фрактальную форму.

Занимая мало места, они снабжают в полной мере качественный прием сигнала. Экономисты применяют фракталы для описания кривых колебания валютных котировок (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад). На этом мы завершим эту маленькую экскурсию в необычный по разнообразию и красоте мир фракталов.

Что такое фрактал?

У этого понятия нет строгого определения. Исходя из этого слово «фрактал» не есть математическим термином. В большинстве случаев так именуют фигуру , которая удовлетворяет одному либо нескольким из следующих особенностей:

• владеет сложной структурой при любом повышении;

• есть (приближенно) самоподобной;

• владеет дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью, которая больше топологической;

• возможно выстроена рекурсивными процедурами.

Фрактальные размерности

Снежинка Коха Вверху — схема получения кривой Коха; внизу — одна из разновидностей данной кривой, снежинка Коха

Как мы знаем, размерность (число измерений) фигуры— это число координат, нужных для определения положения лежащей на данной фигуре точки. К примеру, положение точки на кривой определяется одной координатой, на поверхности (не обязательно плоскости) — двумя координатами, в трехмерном пространстве — тремя координатами.

С более неспециализированной математической точки зрения возможно выяснить размерность так: повышение линейных размеров, скажем, вдвое для одномерных (с топологической точки зрения) объектов (отрезок) ведет к повышению размера (длины) вдвое, для двухмерных (квадрат) такое же повышение линейных размеров ведет к повышению размера (площади) в четыре раза, для трехмерных (куб) — в восьмеро. «Настоящую» (т.н. Хаусдорфову) размерность возможно подсчитать в виде отношения логарифма повышения «размера» объекта к логарифму повышения его линейного размера.

Другими словами для отрезка D=log (2)/log (2)=1, для плоскости D=log (4)/log (2)=2, для количества D=log (8)/log (2)=3. Подсчитаем сейчас размерность кривой Коха, для построения которой единичный отрезок дробят на три равные части и заменяют средний промежуток равносторонним треугольником без этого сегмента. При повышении линейных размеров минимального отрезка втрое протяженность кривой Коха возрастает в log (4)/log (3)~1,26.

Другими словами размерность кривой Коха — дробная!

Семейство драконов

По подобию и образу Эти фракталы взяли собственный имя за сходство с китайскими драконами. Не правда ли, похоже?

Варьируя фрагмент и основу, возможно взять потрясающее разнообразие конструктивных фракталов. Более того, подобные операции возможно создавать и в трехмерном пространстве. Примерами объемных фракталов могут служить «губка Менгера», «пирамида Серпинского» и другие.

К конструктивным фракталам относят и семейство драконов. Время от времени их именуют по имени первооткрывателей драконами Хейвея-Хартера (собственной формой они напоминают китайских драконов). Существует пара способов построения данной кривой. Вот самый несложный и наглядный: необходимо забрать достаточно долгую полосу бумаги (чем уже бумага, тем лучше) и согнуть ее пополам.

После этого опять согнуть ее в два раза в том же направлении, что и в первоначальный раз. По окончании нескольких повторений (в большинстве случаев через пять-шесть складываний полоса делается через чур толстой, дабы ее возможно было бережно гнуть дальше) необходимо разогнуть полосу обратно, причем стараться, дабы в местах сгибов появились углы в 90°. Тогда в профиль окажется кривая дракона. Очевидно, это будет только приближение, как и все отечественные попытки изобразить фрактальные объекты.

Компьютер разрешает произвести значительно больше шагов этого процесса, и в следствии получается прекрасная фигура.

Комплексные числа

Комплексное число — это число, складывающееся из двух частей, настоящей и мнимой, другими словами формальная сумма x + iy (x и y тут — вещественные числа, i — так называемая мнимая единица, число, удовлетворяющее уравнению i2 = -1). Над комплексными числами выяснены главные математические операции — сложение, умножение, деление, вычитание (не выяснена лишь операция сравнения).

Для изображения комплексных чисел довольно часто употребляется геометрическое представление — на плоскости (ее именуют комплексной) по оси абсцисс откладывают настоящую часть, а по оси ординат — мнимую, наряду с этим комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами x и y.

Множества Мандельброта

Вы видите фрактал, изображающий множество Мандельброта — другими словами множество точек c на комплексной плоскости, для которых последовательность zn, определяемая итерациями z0=0, z1=z02+с,zn+1=zn2+c, конечна (другими словами не уходит в бесконечность). Визуально множество Мандельброта выглядит как комплект нескончаемого количества разных фигур, самая громадная из которых именуется кардиоидой (она похожа на стилизованное изображение сердца и была названа от двух греческих слов — «сердце» и «вид»).

Кардиоида окружена все уменьшающимися кругами, любой из которых окружен еще меньшими кругами, и т. д. до бесконечности. При любом повышении этого фрактала будут выявляться все более и более небольшие подробности изображения, дополнительные ветки с более небольшими кардиоидами, кругами. И данный процесс возможно продолжать вечно.

Сбежавшие числа

Для построения графического изображения множества Мандельброта возможно применять метод, именуемый escape-time. Сущность его такова. Доказано, что все множество полностью расположено в круга радиуса 2 на плоскости.

Исходя из этого будем вычислять, что в случае если для точки c последовательность итераций функции fc (0) по окончании некоего солидного их числа N (скажем, 100) не стала женой пределы этого круга, то точка в собственности множеству и красится в черный цвет. Соответственно, в случае если на каком-то этапе, меньшем N, элемент последовательности по модулю стал больше 2, то точка множеству не в собственности и остается белой. Так, возможно взять черно-белое изображение множества, которое и было получено Мандельбротом.

Дабы сделать его цветным, возможно, к примеру, каждую точку не из множества красить в цвет, соответствующий номеру итерации, на котором ее последовательность стала женой пределы круга.

Фракталы Ньютона

Еще один тип динамических фракталов составляют фракталы (так именуемые бассейны) Ньютона. Формулы для их построения основаны на способе ответа нелинейных уравнений, что был придуман великим математиком еще в семнадцатом веке.

Используя неспециализированную формулу способа Ньютона zn+1 = zn — f (zn)/f'(zn), n=0, 1, 2 для ответа уравнения f (x)=0 к многочлену zk-a, возьмём последовательность точек: zn+1 = (k-1)znk/kznk-1, n=0, 1, 2 Выбирая в качестве начальных приближений разные комплексные числа z0, будем приобретать последовательности, каковые сходятся к корням этого многочлена. Потому, что корней у него ровно k, то вся плоскость разбивается на k частей — областей притяжения корней. Границы этих частей имеют фрактальную структуру. (Увидим в скобках, что в случае если в заключительной формуле подставить k=2, а в качестве начального приближения забрать z0=a, то окажется формула, которую реально применяют для вычисления корня квадратного из a в компьютерах.)

Множества Жулиа

Каждая точка z комплексной плоскости имеет собственный темперамент поведения (остается конечной, пытается к бесконечности, принимает фиксированные значения) при итерациях функции f (z), а вся плоскость делится на части. Наряду с этим точки, лежащие на границах этих частей, владеют таким свойством: при сколь угодно малом смещении темперамент их поведения быстро изменяется (такие точки именуют точками бифуркации).

Наряду с этим множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, и множества бифуркационных точек довольно часто имеют фрактальные свойства. Это и имеется множества Жулиа для функции f (z). На рисунке изображены множества Жулиа для функции f (z)=z2-(0,12+0,76i).

Статья размещена в издании «Популярная механика» (№77, март 2009).

Случайные записи:

Fractals are typically not self-similar


Похожие статьи, которые вам понравятся:

Tags:  , ,